La cohomoloǵıa de una red finita ?

En este trabajo presentamos el concepto de operador rotacional de una red. Aunque tal operador puede ser considerarado en situaciones mucho más generales, ver [4], hemos preferido restringirnos aqúı a las denominadas redes puramente resistivas, para las cuales queda en cierto modo completado el cálculo vectorial discreto desarrollado por los autores, [2,3]. A partir del rotacional puede considerarse también una adecuada versión discreta de la Cohomoloǵıa de De Rham de una variedad compacta aśı como el análogo del Laplaciano de Hodge. Una de las caracteŕısticas esenciales de nuestras técnicas es la de considerar campos más generales que los denominados flujos, que son los habituales en este ámbito, ver por ejemplo [1,5,6]. La ausencia de campos generales en estos trabajos hace inviable la noción de rotacional y consecuentemente los resultados sobre descomposición de campos, ver por ejemplo [1], no contienen toda la posible información sobre la estructura de la red. De hecho, la versión de la Descomposición de Hodge que presentamos aqúı, representa no sólo una versión mimética a su contrapartida continua, sino también una respuesta satisfactoria al problema planteado por K. Gustafson y F. Harary en [7], relativo la descomposición ortogonal de un grafo en una parte irrotacional, otra solenoidal y otra simultáneamente irrotacional y solenoidal.